摘要
如果你曾经打过或看过篮球，你可能已经知道，即使在保持与篮筐的距离相同的情况下，你在篮球场上的某些位置上成功投篮的机会也会更高。有没有想过会有什么能解释这个？你认为你可以用几何来解释这个吗？这个科学项目将充分利用您对几何和代数的了解。您将计算并量化从不同位置得分的难度。您还将构建一个比例模型来测试您的计算。这些结果会与场上经验相符吗？目的
使用代数和几何来计算从球场上不同位置成功击出银行的相对概率，保持与球圈的距离不变。然后测试您是否可以使用比例模型重现您的预测。
积分
Sabine De Brabandere，博士，科学伙伴
引用本页
此处提供了一般引用信息。请务必检查所使用方法的格式，包括大小写，并根据需要更新引文。
MLA风格
APA风格
最后编辑日期:2017-07-28
简介
人们说体育运动有助于提高学业成绩。对游戏的学术分析是否也会提高你在球场上的表现？用这个科学项目测试它。仔细观察使用篮板射击篮筐的几何形状。几何分析是否表明从箍侧射击 – 如图1所示 – 比从更中心位置射击更容易，更困难或同样困难？几何分析可以帮助您在球场上做出更好的决策吗？
图1。从相对于箍的侧面位置射击。
在篮筐上射击篮球是射弹运动的一个很好的例子，或者是在空中移动的物体（在这种情况下是球）的运动。射弹运动科学可以让你预测射弹（这里是一个球）轨迹，或射弹（或球）将采取的确切路径。
在真正的篮球比赛中，当球在空中移动时，球会沿着复杂的三维轨迹移动，从篮板反弹并进入网内。然而，它是复合运动的一个例子，它结合了垂直和水平运动。这两种运动彼此独立，因此可以单独研究。在这个科学项目中，你将研究篮球的水平运动，它将三维运动减少到二维。这种球运动的”鸟瞰图” 将使您的科学项目更容易分析。
球的垂直和水平运动是否独立发生，你感到惊讶吗？
你可以尝试使用不同的路径将相同的物体（如两枚硬币）落到地面上（例如，一张硬币从桌子侧面发射出来，而第二枚硬币从边缘轻轻推开），可以尝试这种类型的复合运动。直接从桌子上掉下来）。看两个物体何时着陆。如果垂直移动（落到地面）与水平移动无关，则两个硬币应同时接触地面，即使第一个物体走的路径较长。
你的目标是确定从球场上不同位置使用篮板投篮的相对难度。想象一下从鸟瞰（自上而下）的角度看球场。现在想象一个球员正在投球。你会看到什么？你能看到被射球的弹道，从篮板上弹起，落在篮筐里吗？你想象一个如图2所示的轨迹吗？
图2. 银行镜头轨迹的自上而下视图。该图还示出了入射角等于反射角，因为假设球没有旋转.
图2还介绍了射弹的入射角和反射角.入射角是当球接近表面（这里是背板）和垂直于表面的线（垂直于表面的线）时球的路径之间的角度。表面也称为法线到表面或表面法线）.反射角表示球反弹时球的路径之间的角度从表面和垂直于表面的线。在这个科学项目中，你将假设球没有旋转而被抛出。在这种情况下，抛射物运动预测球将在相同的角度下反弹，或者换句话说，入射角等于反射角。
在你的科学项目的第一部分中，你将使用代数和几何来研究镜头的一个方面，并确定它对从与箍相同距离的不同位置进行射击的相对难度的影响。以下是将在计算中使用的三角形的一些属性的简短回顾。
毕达哥拉斯定理可能是思考三角形时首先想到的。它在直角三角形中有效，并指出斜边的正方形（与右[90°]角相对的边的长度）等于正方形的平方和其他两边的长度。
你还记得30-60-90和45-45-90三角形的特殊属性吗？
30-60-90三角形是一个30°，60°和90°角的三角形，如图3所示。这个三角形的一边长度恰好是长度的一半斜边。你能用毕达哥拉斯定理验证另一边的长度吗？是斜边长度的一倍？
图3. 30-60-90三角形的表示，其一边的长度是斜边长度的一半。在该图中，长度a，b和c表示三角形的每一边的长度，而希腊字母α和β表示角度.
45-45-90三角形是特殊的，因为这个直角三角形的两边长度相等。你能用毕达哥拉斯定理来证实这个长度是完全正确的是斜边长度的一倍？
您还需要知道类似三角形的属性.类似的三角形是具有相同角度但可能大小不同的三角形。图4显示了两个相似的三角形。注意，相似三角形的相应边具有相同比例的长度。换句话说，如果具有边a，b和c的三角形类似于具有边A，B和C的三角形，则a/A = b/B = c/C.
图4. 两个相似三角形的表示。注意，相似三角形的相应边的长度比是相同的.
在开始计算之前，还有一个数学概念要介绍。在这个科学项目中，你将研究镜头的一个方面，并计算当球员被放置在球场上的不同位置时，这会如何影响得分机会。科学家使用相对概率来表示与选定的基线相比，预期会发生多少或多或少的事情。相对概率高于1表示从该位置成功射击成束射击比从基线位置成功射击更可能或更容易。低于1的相对概率表明从该位置成功地射击成堆射击比从基线位置成功射出成束射击更不可能或更困难。
现在，开始的时候了！下次决定是否使用篮板进行射击时，请务必记住您的科学项目！
术语和概念
- 弹丸运动
- 轨迹
- 复合动作
- 独立
- 入射角
- 反射角度
- 毕达哥拉斯定理
- 直角三角形
- 斜边
- 30-60-90三角形
- 45-45-90三角形
- 类似的三角形
- 相对概率
问题
- 什么属性允许分别在水平面和垂直方向上分析抛射物运动？
- 篮球投篮的轨迹如何在水平面上看？
- 如果球没有旋转，球撞击物体的入射角和反射角是多少？
- 200％或50％的相对概率表示什么？
- 直角三角形的三边长度如何相关？
- 在分析情况的几何形状时，您是否期望球场上的任何位置更有可能使用篮板得分？
- 你是否期望任何球员在距离篮筐中心相同距离的球场上有更好的机会在真实比赛中使用篮板进行得分？
参考书目
- 物理课堂.（不详）.运动的垂直分量的独立性。检索2013年11月24日，来自 http://www.physicsclassroom.com/Class/vectors/u3l1g.cfm
- 数学很有趣.（不详）.正确的三角形。检索2013年11月30日，来自 http://www.mathsisfun.com/right_angle_triangle.html
材料和设备
- 测试球，直径约4.5厘米。迷你运动挤压球，如迷你运动泡沫球 Amazon.com 工作得很好。
- 注意:您需要向上或向下缩放纸板管的尺寸和海报板的数量，以容纳更小或更大的球。
- 书籍（2），相同的厚度
- 与平坦地板成90°角的平面墙
- 标尺，指标
- 海报板（2），22 x 28英寸;灵活或坚硬的海报板都会起作用。
- 厚标记，黑色和红色
- 指南针
- 量角器
- 张纸
- 不会损坏墙壁的胶带
- 剪刀
- 纸板卷（如果使用4.5厘米球，则长50厘米）;包装纸内管效果很好.注意:选择坚固的纸板管上的东西，而不是薄薄的包装纸管。）
- 砧板
- 卫生纸卷
- 美工刀或工艺刀
- 荧光笔
- Lab Notebook
声明:Science Buddies参与联盟计划家庭科学工具， Amazon.com ， Carolina Biological ，以及 Jameco Electronics 。联盟计划的收益有助于支持Science Buddies，501（c）（3）公益慈善机构，为每个人免费提供资源。我们的首要任务是学生学习。如果您对我们网站上的建议您为科学项目所做的购买有任何意见（正面或负面），请告诉我们。写信给我们 scibuddy@sciencebuddies.org 。
实验程序
定义变量
对于这个科学项目，您将把球员放在离篮筐中间一定距离的位置。在此过程中将使用三米（m）作为示例。您可以根据自己的首选距离替换此距离。但是，在整个项目中坚持一个距离非常重要，因为你想要研究玩家角度位置的影响。另请注意，使用公制单位，因为这是科学项目的惯例。
一旦你指定了距离，玩家的位置就是由玩家穿过篮筐中间的线与平行于篮板的线形成的角度，如图5所示。
图5. 将球员定位在离篮筐中心恒定的距离处并改变角度位置。选择90°位置作为基线，这意味着将相对于90°位置计算概率。
选择90°位置作为基线，这意味着您将计算相对于90°位置从30°，45°和60°位置拍摄多少或多或少的难度。
计算得分机会
根据球员的角度位置，球员必须将球瞄准篮板上的不同位置，以使球最终进入篮筐，如图6所示。
图6。不同位置的球员需要将球瞄准篮板上的不同位置以使球弹到篮筐中。
球员总是打算将球放在篮筐中间。幸运的是，有一些摆动空间。如图7所示，球可以从背板上略微不同的位置反弹并仍然反弹到篮筐中。
图7。放置在特定位置的球员可以将球扔到篮板稍微不同的位置仍然拍摄。背板上的接触区域将导致射击，可用作指示从该位置射击的难度。
一名球员有多大的摆动空间是一个指标，表明投篮的难度。你可以通过比较不同球员位置的这个”摆动室” 的长度（球员可以击中并仍然击球的篮板区域的长度）来计算相对概率。在此方法中，您可以计算玩家可以选择瞄准的区域的相对大小，如稍后在过程中所述。如果您假设玩家每次都可以完美地瞄准球，则此方法有效。另一种方法是计算玩家在瞄准球时所具有的角度摆动空间（例如，加或减两度），假设玩家确切地知道背板上的哪个位置瞄准。在这种情况下，计算略有不同，如变体中所述部分。在真实游戏中，相对概率是这些和其他方面的组合。
开始计算前的一些一般性说明:
- 虽然在体育运动中，距离通常以英寸和码表示，但计算将在公制系统（厘米和米）中进行。请务必在需要时进行适当的转换。
- 所有数字都表示将玩家位置定义为β的角度。第一次进行这些计算时，请将角度填入30°。在稍后的迭代中，您将对45°，60°和90°位置进行计算。每次进行计算时，请填写适当的β数字。
- 在计算的任何步骤中，请记住验证所获得的距离是否合理。例如，在距离篮板中心10米处击球的篮球似乎不正确。频繁的检查将帮助您尽早发现错误。
- 将表格复制到实验室笔记本中;它可以让你系统地跟踪你的计算，当你通过它们不同的角度位置。
- 注意:如果你能够象征性地工作，直到你得到X 1 的表达式作为其他变量的函数（β，X tot ，Y tot ，…） – 请设置方程并在最后插入数字。如果这对您来说很困难，请在每一步插入数字。
| 玩家的位置由角度β | 30° | 90° | |||
| 球落在中央 | X tot （m） | ||||
| Y tot （m） | |||||
| Y 2 （m） | |||||
| Y 1 （m） | |||||
| X 2 （m） | |||||
| X 1 （m） | |||||
| 球落地 | X tot （m） | ||||
| Y tot （m） | |||||
| Y 2 （m） | |||||
| Y 1 （m） | |||||
| X 2 （m） | |||||
| X 1 （m） | |||||
| 球落地 | X tot （m） | ||||
| Y tot （m） | |||||
| Y 2 （m） | |||||
| Y 1 （m） | |||||
| X 2 （m） | |||||
| X 1 （m） | |||||
| 长度接触线（m） | |||||
| 相对概率 | 1 |
表1。表中记下计算的中间结果和最终结果。
- 制作类似于图8所示的图纸。专注于黄色三角形。
- 计算黄色直角三角形的所有边的长度。请注意，您知道角度β和斜边的长度.
- 添加适当的距离（如果有的话）以获得X tot 的长度（X方向从球员位置到球进入篮筐中间的距离）和Y tot （从球员的位置到篮板的Y方向的距离）在图中用黑色表示。请注意，您可能需要将英寸转换为米.
- 请在实验室笔记本中将表格结果记录在表格中的”Ball lands central” 行中，如表1所示。
图8. 设置图有助于识别几何体并将问题转化为数学方程式。
- 制作类似于图9中的图纸。您想要找到X 1 ，因为这将指示距离中心线的距离，球需要击中篮板并弹回篮子。请注意，绘图是为了反映球弹回到篮筐的中心。中心线指的是垂直于背板通过篮筐中心的直线。
- 专注于绿色（边X 2 ，Y 2 ，Z 2 ）和蓝色（边X 1 ，Y 1 ，Z 1 ）三角形。由于入射角等于反射角，因此这两个三角形是相似的。使用此信息记下Y 1 ，Y 2 ，X 1 ，X 2 之间的等式。
- 从图9中可以看出，Y 2 和Y tot 是相同的。您还知道Y 1 ，并且您正在尝试找到X 1 。您仍需要识别X 2 。
- 由于你知道步骤2中的X tot ，找到一个与X 1 ，X 2 和X tot相关的等式
- 使用步骤3.c中获得的等式。将X 2 表示为X 1 和X tot 的函数。
- 在步骤3.a中形成的等式中，用X 1 和X tot 替换X 2 的表达式。
- 重新组织你的表达式，使你得到X 1 作为函数Y tot ，Y 1 和X tot
- 如果您还没有这样做，请将Y tot ，Y 1 和X tot 的值插入表达式中3.f.，求解X 1 。将结果记录在变量X 1 （m）旁边的数据表中 – 球落在中央.
- 做一个现实检查;是你的距离仍在篮板内指示的位置吗？
图9. 类似三角形的数学属性（在此图中以绿色和蓝色绘制）用于解决问题。
- 重复步骤3.如有必要，请更改您的程序，以解决球几乎没有穿过篮筐左边缘的情况，如图10所示（浅黄色球）。
- 首先制作新图纸，或者以不同颜色将新情况添加到上一张图纸中。
- 确定哪个，如果任何变量Y tot ，Y 1 ，Y 1 ，X 2 ，和X tot 保持不变。将它们记录在数据表中。
- 对于确实发生变化的变量，你知道它们会改变多少吗？例如，当球将进入中心位置的左侧或右侧时，X tot 将更少或更多。你知道篮球直径为9.4英寸，篮筐半径是9英寸吗？
- 您能看看在步骤3.a中建立的变量之间的关系吗？和3.b.仍然持有？如果是这样，您可以使用步骤3.f中建立的关系。使用Y tot ，Y 1 和X tot 的新值来计算距离X 1 （m ） – 球落地。这是角度β左侧的最远点，仍然会导致球弹入篮筐。
- 做一个现实检查;是你的距离仍在篮板内指示的位置吗？
图10. 图中显示了球几乎没有穿过篮筐向右（浅蓝色）或向左（浅黄色）的情况中心位置.
- 重复步骤4，考虑到球几乎没有穿过篮筐到中心位置的右侧的情况，如图10所示（浅蓝色球）。该计算将产生距离X 1 （m），球落地右侧。这是该角度β右侧的最远点，仍将导致球弹入篮筐。
- 要计算背板上将导致球弹入篮筐的区域长度，从距离[X
- 对于以下位置再次重复步骤2-6:45°和60°。
- 再次对90°位置重复步骤2-6。请注意，此位置看起来略有不同，如图11所示。验证您标识的公式是否仍然适用于此配置。
的右侧（蓝色）或左侧（粉红色）图11. 图中显示了球进入中心（橙色），右侧（浅蓝色）或左侧（浅粉色）的90°位置配置中心位置.
- 现在您已经获得了拍摄的长度，您已准备好计算相对概率。
- 将获得的每个位置的长度除以90°位置的长度。请注意，90°位置的相对概率应为”1″ ，因为此位置被选为基线。
- 您的结果是否证实或与您的预期相矛盾？回想起来似乎合乎逻辑吗？
使用比例模型测试您的计算
现在您已使用几何计算了相对概率，您可以测试是否可以使用比例模型重现这些数字。如何构建比例模型并获取数据在科学项目理念的过程中进行了解释篮球:你会投篮吗？
将您的比赛模型中的玩家放置在与计算相同的位置:距离箍中心3米（按比例缩小到模型中的距离）以及30°，45°，60°和90°角。
使用比例模型轨迹中的数据计算背板上将球弹回篮筐的区域长度以及相对概率。
比较和分析您的结果
本节将为您提供有关如何分析结果的一些信息。
- 将您的比例模型获得的结果与计算结果进行比较:
- 对于每个角度位置，比较拍摄的接触线的长度.
- 比较每个角位置获得的相对概率。
- 如果您发现比例模型结果与计算结果之间存在任何差异，请尝试回答以下问题:
- 你能解释导致这些差异的原因吗？
- 比例模型的结果是否比计算结果更准确，更准确或更准确？
- 您能想出改善计算方法或比例模型的方法吗？
- 制作数据的散点图。在可能的情况下，使用颜色编码在同一图表上绘制计算结果和测试模型结果，以区分计算结果和比例模型结果。以下是一些建议:
- 绘制您的相对概率（在y轴上）与玩家的位置（角度）。
- 绘制得分（在y轴上）与玩家位置（角度）之间的区域长度。
- 绘制距中心线的最小距离和y轴上中心线的最大距离与x轴上的玩家角度位置（角度）.
- 您是否看到了图表或数据的趋势？你能得出什么结论？一个位置使用篮板比其他位置得分更多吗？
- 您的发现是否符合您的预期？
- 如果你打篮球，你在球场上有类似的经历吗？
- 如果您能找到真实篮球运动员的”射门图表” ，表明球场上不同位置的投篮成功率，请将其与您的发现进行比较.
- 您能否解释步骤5.a中发现的任何差异。或5.b.？还有哪些其他因素（几何和非几何）会影响你得分的机会。举个例子，在大角度或小角度下瞄准会更准确吗？
- 你将自己限制在这个科学项目的两个方面;会添加垂直运动会改变你的计算吗？
如果你喜欢这个项目，你可能会喜欢探索这些相关的职业:
变体形式
- 在这个科学项目中，您通过改变角度并保持与环的中心的距离不变来改变玩家的位置。再次尝试该项目，这次保持角度不变并分析改变距离的影响。
- 将0°位置添加到分析中，或使用三角法为分析添加更多角度位置.
- 如果您有一些基本的三角知识，您可以找到相对概率的符号表达式作为玩家角度位置的函数。然后绘制此函数，在y轴上具有相对概率，在x轴上具有玩家的角度位置。这将为您提供有关相对概率如何随角度位置变化而变化的信息，并考虑所有位置（所有角度）。
- 让一些篮球玩的朋友使用篮板从分析的位置测试他们的成功率。将这些实际结果的平均值与计算和/或测试情况中获得的结果进行比较。分析可能解释您的计算，比例模型和在实际球场上投篮之间的差异的原因。
- 这个科学项目的计算假设玩家每次都能以完美的目标投球。实际上，当球员投球时可能会出现一些错误，导致球向左或向右倾斜几度，如图12所示。你能用这个角度<计算相对概率吗？/i>“摆动房间” 而不是背板上的线性摆动空间？两种方法如何比较;他们会给出相同的结果，还是会有所不同？
图12. 您还可以通过比较球场上不同位置的角度摆动空间来计算成功投注的相对概率。该图中显示的玩家具有δ度的摆动空间.
- 使用几何和代数分析你应该向哪个方向投掷球以供正在运行的玩家捕获它.
- 查找真实篮球运动员的”拍摄图表” （例如，搜索”NBA拍摄图表” 的在线图像），并将您的数据与这些拍摄图表进行比较。真实篮球比赛的数据是否与您在实验中看到的趋势相符？您认为还有哪些其他因素可能影响实验中不存在的真实游戏？
